मान लीजिए phi (x) = int_{0}^{1} e^{x} e^{t} p | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $\phi(x) = e^{x} \int_{0}^{1} e^{t} \phi(t) dt + x$. मान लीजिए $C = \int_{0}^{1} e^{t} \phi(t) dt$. तब $\phi(x) = C e^{x} + x$.समाकलन

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$A = \ln(e^{2} - 3) - 2$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया है $\phi(x) = e^{x} \int_{0}^{1} e^{t} \phi(t) dt + x$. मान लीजिए $C = \int_{0}^{1} e^{t} \phi(t) dt$. तब $\phi(x) = C e^{x} + x$.समाकलन में $\phi(t) = C e^{t} + t$ प्रतिस्थापित करने पर:$C = \int_{0}^{1} e^{t} (C e^{t} + t) dt = \int_{0}^{1} (C e^{2t} + t e^{t}) dt$.समाकलन का मूल्यांकन करने पर:$C = C \left[ \frac{e^{2t}}{2} \right]_{0}^{1} + \left[ t e^{t} - e^{t} \right]_{0}^{1} = C \left( \frac{e^{2} - 1}{2} \right) + (e - e) - (0 - 1) = C \left( \frac{e^{2} - 1}{2} \right) + 1$.$C \left( 1 - \frac{e^{2} - 1}{2} \right) = 1 \Rightarrow C \left( \frac{2 - e^{2} + 1}{2} \right) = 1 \Rightarrow C \left( \frac{3 - e^{2}}{2} \right) = 1 \Rightarrow C = \frac{2}{3 - e^{2}}$.अतः,$\phi(x) = \frac{2}{3 - e^{2}} e^{x} + x$.अब,$\phi(\ln(e^{2} - 3)) = \frac{2}{3 - e^{2}} e^{\ln(e^{2} - 3)} + \ln(e^{2} - 3) = \frac{2}{3 - e^{2}} (e^{2} - 3) + \ln(e^{2} - 3) = -2 + \ln(e^{2} - 3)$.

मान लीजिए $\phi (x) = \int_{0}^{1} e^{x} e^{t} \phi (t) dt + x$. यदि $\phi (\ln (e^{2} - 3))$ का मान $A$ है,तो $A$ का मान ज्ञात कीजिए।

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मान लीजिए $f(x) = \int_0^x t(t^2 - 9t + 20) dt$,$1 \leq x \leq 5$ है। यदि $f$ का परिसर $[\alpha, \beta]$ है,तो $4(\alpha + \beta)$ का मान ज्ञात कीजिए:

$\int_2^3 \frac{x + 1}{x^2(x - 1)} dx$ का मान क्या है?

$\int_0^1 \frac{x^4 + 1}{x^2 + 1} \, dx$ का मान है

अंतराल $\left[ -\frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right]$ पर फलन $F(x) = \int_1^x {|t| \, dt}$ का अधिकतम मान ज्ञात कीजिए।

$\int_{1}^{3} (x - 1)(x - 2)(x - 3) \, dx = $

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